2、U形波纹管膨胀节刚度和应力计算
    符号说明:
    Fex---- 作用在以Dm为直径的圆周上的轴向力，N;
    e_x---- 单波轨向变形量，mm;     h---- 波纹管的波高，mm;
    Dm---- 波纹管的平均直径，mm;   q---- 波纹管的波距，mm;
           Dm=D_b+h                 r---- 波纹管波纹的曲率半径，mm;
    D_b---- 波纹管直边段内径，mm;   a---- 波纹管波纹的直线段长度，mm;
    δ---- 波纹管的名义厚度，mm;  δm---- 波纹管成形后的壁厚，mm;
    E---- 波纹管材料的弹性模量，Mpa;  m----波纹管厚度为δ的层数;
    Cm---- 材料强度系数，热处理态波纹管取Cm=l.5；成形态波纹管取Cm=3.0;
    Cwb---- 波纹管纵向焊缝;
    Cf、Cp、Cd---- 形状尺寸系数，由图38、41、42求取。
    f_i---- 波纹管单波轴向刚度，N/mm;
    Kx---- 膨胀节整体轴向刚度，N/mm;
    Ky---- 膨胀节整钵横向(侧向)刚度，N/mm;
    K_θ---- 膨胀节整体弯曲(角向)刚度,K·m/°θ;
    Ku---- 计算系数
      Ku=(3L_u²-3L_bL_u)/(3L_u²-6L_bL_u+4L_b²)
    L_b---- 波纹管的波纹段长度，mm;L_b=Nq
    N---- 一个波纹管的波数;
    L_u----复式膨胀节中，两波纹管最外端间的距离，mm;
2.1 刚度计算
2.1.1 波纹管单波轴向刚度计算
    波纹管的波高与直径之比较小，如将其展开，可简化为如图37(b)所示的两端受轴向线载荷的曲杆。轴向的总力为Fex。在弹性范围内，利用变形能法可以推导出轴向力与轴向变形之间的近似关系式(1)。
           Fex=[(πD_mEδ³)/24C]-e_x          N              (1)
    式中  C=0.046r³-0.142hr²+0.285h²+0.083h³       mm³     (2)   
   
    则波纹管刚度f_i′为 f_i′=Fex/ e_x                        (3)
    考虑到力学模型的近似性以及波纹管制成后壁厚减薄等因素，对公式（1）进行修正并代入（3）式则得：
             f_i′=(1.7D_mEδ_m³)/(h³C_f)          N/mm         (4)
    式中：δ_m=δ√D_b/D_m                                     (5)
    对于多层结构的波纹管，其刚度按（6）式计算：
        f_i=(1.7D_mEδ_m³m)/(h³C_f)          N/mm         (6)
   
                    图38  系数C_f
2.1.2 膨胀节整体弹性刚度计算
    （1）轴向刚度
        （a）单式膨胀节整体刚度
               K_x=f_i/N             (7)
        （b）复式膨胀节整体刚度
               K_x=f_i/2N            (8)
    （2）侧向刚度
         （a）单式膨胀节整体刚度
               K_y=(1.5D_m²f_i)/[L_bN(L_b±X)²]        (9)
         （b）复式膨胀节整体刚度
               K_y=(K_uD_m²f_i)/[4NL_u(L_u-L_b±X/2)]     (10)
         侧向刚度计算中，轴向位移X拉伸时取“+”，压缩时取“-”。
    （3）整体弯曲刚度
               K_θ=（πD_m²f_i）/（1.44×10⁶N）        (11)
2.2 未加强U形波纹管的应力计算
    (1)内压引起的周向薄膜应力σ₂   
    由图39可知，当受内压P作用时，在一个U形波的纵截面上的内力与作用在半个环壳上的外力平衡。
         4(πr+α)δ_mσ₂=qD_mP
        σ₂=(qD_mP)/[4(πr+α)δ_m]    MPa               (12)
    几何尺寸r、α有如下关系：
         r=q/4
        α=h-q/2                                      (13)
    将（13）式代入（12）式，得周向薄膜应力为：
        σ₂=(D_mP)/[2mδ_m(0.571+2h/q)]      MPa         (14)  
    （2）内压引起的径向薄膜应力σ₃
    当波纹管受内压P作用时，在以D与D_b为直径的两个环形截面上的内力与轴向外力平衡，则：
       π(D+D_b)δ_mσ₃=(π/4)(D²-D_b²)P             (15)
    因D=D_b+2h,代入上式，经整理后得：
        σ₃=Ph/2δ_mm              MPa             (16)
    （3）内压引起的径向弯曲应力σ₄
    在经线为半个U形环壳上切出单位宽度的窄条（见图40），设两端固定，并受均布压力P作用，可得最大弯距为：
       M=P·h²/12                  (17)
       断面系数为：W=πD_mδ_m²/6       (18)
       则径向弯曲应力为：
           σ₄=M/w=P·h²/2δ_m²      MPa   (19)
       考虑形状尺寸的影响，引进修正系数(EJMA法)得：
           σ₄=（P·h²Cp）/2cm            (20)
              
          图39 U形膨胀节的几何参数。
   
          图40  环壳上的几何尺寸
    （4）由轴向力F_ex引起的径向薄膜应力σ₅   
         由式（3）、式（4）可得：
            σ₅=F_ex/πD_mδ_m=（1.7Eδ_m²e_x）/（πh³C_f）    MPa   (21)
         按EJMA法修正后，其公式形式为：
            σ₅=（Eδ_m²e_x）/（2πh³C_f）                 MPa   (22)
         式（22）为实际计算公式。
     （5）由轴向力F_ex引起的径向弯曲应力σ₆   
         可以证明在F_ex作用下，最大弯矩发生在波顶B处（见图37），其值为：
             M_max=F_exh/2                 (23)
         断面系数为：W=πD_mδ_m²/6         (24)
         则弯曲应力为：σ₆=M_max/w=3F_exh/πD_mδ_m²  MPa    (25)
         引入公式（3）、（4）的关系，得：σ₆=（5Eδ_me_x）/（πh²C_d）  MPa  (26)
         按EJMA法修正后得：
            σ₆=（5Eδ_me_x）/（3h²C_d）  MPa         （27）
      （6）应力评定
           a、薄膜应力
              σ₂≤Cwb[σ]_b^t                (28)
              σ₃≤[σ]_b                    
           b、弯曲应力：σ₃+σ₄≤C_m[σ]_b^t     (29)
           c、经向总应力范围：
              σ_t=0.7(σ₃+ σ₄)+σ₅+σ₆          (30)
    以上介绍的U形膨胀节计算的方法，尽管由于力学模型的简化，给计算结果带来一定程度的误差，但因公式比较简单，又根据实际情况进行了修正与调整，故在工程设计时仍然得到广泛的应用。
    U形膨胀节也可看作环壳与环板的组合体，承受轴对称的载荷。列出平衡方程进行求解也可得出计算公式。但其过于繁复，不便于应用。
    近年来利用有限元法对膨胀节的应力分析研究工作也取得了进展。它以有限单元的集合代替无限单元的连续体，作物理上的近似，通过能量原理得出离散方程，经过求解，可以得到各离散单元的应力与位移的数值解。有利于进行精确的设计计算。